調べました。
「追悼」「哀悼」どちらにも共通する「悼」という字には「人の死を悲しむ」という意味があります。

次に、「追」という字には「おいかける」といった意味のほかに「以前のことをあとからたどる」という意味があります。一方、「哀」という字には、「あわれむ」といった意味があります。

これらのニュアンスの違いを考えると、「哀悼」には故人の死をあわれみ、悲しむという意味があるのに対し、「追悼」は故人の生前の姿をたどりながらその死を悲しむといった意味があります。
使い方　

多くの人が亡くなるような大規模な災害があった場合などで、「追悼の意を表します」という言葉も使われています。

手紙などで遺族の方に自身が悲しんでいることを伝えるために、「哀悼の意を表します」を使われています。

「表す」という言葉自体が格調高く、文語体で使うことが前提の言葉だからです。従って、手紙などで遺族の方に自身が悲しんでいることを伝えるために、「哀悼の意を表します」とは使ってもよいですが、お葬式などで遺族に向かって、話し言葉の中で使うのは誤りです。

「追悼の意を表します」「多くの人が亡くなって悲しいという思いを、公的に発信することを皆様に伝えます」という意味になりまるため、公人の発言として適切な言葉を使っていることになるようですが、個人が一般的に使うのは「哀悼の意を表します」の方がよいようです。

まとめ　「哀悼の意を表します」が使い方としてはあっているみたいです。そして使い方は手紙などの文語体つまり文章で使うのが正解みたいです。